Le premier théorème de la théorie de graphes nous sert à connaître le nombre de sommets impaires. Selon le théorème le total de sommets de degré impair d’un graphe est toujours un nombre pair ou zéro, alors le nombre de sommets de degré impair jamais sera aussi un número impair. On va démontrer cela avec quelques exemples. 

 

D’abord il existe une formule pour ce théorème laquelle dit, que si on a un graphe G= (V,E) donc V(G)= [v1,…,vn], son ensemble de sommets est #E le nombre total d'arêtes, et gr fait référence au degré du sommet: 

n 

Σgr (vi) = 2#E 

i=1 

On va prendre deux exemples différents pour démontrer que le théorème s’atteint. Le premier graphe aura un nombre pareil de sommets et le deuxième le nombre de sommets sera impair. 

 

1) Graphe avec un nombre de sommets pareil: 

 

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On peut voir que le nombre de sommets est 6 donc un nombre pareil. Alors notre graphe est composé para V= [A,B,C,D,E,F] et le nombre d'arêtes dans ce cas est #E= 6. On analyse le degré de chaque sommet: 

gr A=3  gr B=1  gr C=2  gr D= 2  gr E=2  grF=2 

Alors:  

3+1+2+2++2+2= 2·6  

12=12  On peut voir que dans ce cas le théorème est vrai. 

 

2) Graphe avec un nombre de sommets impair: 

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Voici le nombre de sommets est impair bien qu’il a 5 sommets dont 

V= [A,B,C,D,E] et le nombre d'arêtes est #E=8. Le degré des sommets c’est: 

grA=4  grB=3  grC=3  grD=2  grE=4 

Alors: 

4+3+3+2+4= 2·8 

16=16 → On voit que dans ce cas le théorème s'accomplit aussi